Conceitos lógicos fundamentos da matemática

 Conceitos iniciais

O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de Proposição. Proposição “vem de propor” que significa submeter à apreciação; requerer um juízo. Trata-se de uma sentença declarativa – algo que será declarado por meio de termos, palavras ou símbolos – e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso.

Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro.

Fica claro que quando falarmos em valor lógico estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).

E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico.

Concluímos, pois, que...

 Sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”

 Sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”

 Sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. ... não serão estudadas.

Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.

Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, etc). São outros exemplos de proposições:

p: Pedro é médico.

q: 5 > 8

r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.

Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro.

No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não?

Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de entender, e que terão que ser sempre obedecidos.

Lembrem: OS Valores Lógicos (VL) são VERDADEIRO (V) e FALSO (F)>

São os seguintes:

 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);

 Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição);

 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído).

Proposições podem ser ditas simples ou compostas.

Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Exemplos:

 Todo homem é mortal.

 O novo papa é argentino.

Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:

 João é médico e Pedro é dentista.

 Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

 Ou Luís é baiano, ou é paulista.

 Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.

 Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria.

Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Conectivos Lógicos são expressões que servem para unir duas ou mais proposições.

Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.

Veremos que, para determinamos se uma proposição composta é verdadeira ou falsa, dependeremos de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une.

# Conectivo “e”: (conjunção)

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas CONJUNÇÕES. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença:

 “Marcos é médico e Maria é estudante”

... poderemos representá-la apenas por: p∧q. onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante.

Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva?

Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.

Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa.

Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.

Essas conclusões podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.

Retomemos as nossas premissas:

p= Marcos é médico e q = Maria é estudante.

Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos

Marcos é médico	Maria é estudante	Marcos é médico e Maria é estudante
p	q	p^q
V	V	V

Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:

Marcos é médico	Maria é estudante	Marcos é médico e Maria é estudante
p	q	p^q
V	F	F

Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos:

Marcos é médico	Maria é estudante	Marcos é médico e Maria é estudante
p	q	p^q
F	V	F

Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:

Marcos é médico	Maria é estudante	Marcos é médico e Maria é estudante
p	q	p^q
F	F	F

Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há outras! Criamos, portanto, a tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:

p	q	p∧q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.

Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta”.

Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras!

Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo2ⁿlembram???eu mostrei durante a aula: n é igual ao numero de proposições

p	q

Daí, a coluna da primeira proposição da direita para a esquerda (no caso q) terá sempre a seguinte disposição: alternando V  e F.

Assim:

p	q
	V
	F
	V
	F

Então, a coluna da segunda proposição, da esquerda para a direita  terá sempre a seguinte disposição: dois (V) “vês” seguidos de dois (F) “efes”.  Dobramos os V e os F. Assim:

p	q
V
V
F
F

Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabela verdade:

p	q	P^q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Conectivo “ou”: (disjunção) , depois da última aula“eu nunca mais vou te esquecer!!!!!!!!!!”

Recebe o nome de DISJUNÇÃO toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨” minúsculo.  Portanto, se temos a sentença:

· “Marcos é médico ou Maria é estudante”

... então a representaremos por: p∨q.

Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva?

Claro!

Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos:

“eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta!

Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida.

Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.

Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações:

Te darei uma bola	Te darei uma bicicleta	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p	q	pvq
V	V	V

ou

Te darei uma bola	Te darei uma bicicleta	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p	q	pvq
V	F	V

ou

Te darei uma bola	Te darei uma bicicleta	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p	q	pvq
F	V	V

Ou

Te darei uma bola	Te darei uma bicicleta	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p	q	pvq
F	F	F

p	q	pvq
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Conectivo “Ou ... ou ...”: (disjunção exclusiva)

Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos de ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:

“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”

“OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”

A diferença é sutil, mas importante.

Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te

darei uma bicicleta) também o seja.

Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta.

E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.

Em outras palavras, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.

Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa.

E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.

O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a

seguinte:                                                                          

p	q	pvq
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Conectivo “Se ... então ...”: (condicional)

Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:

oSe Pedro é médico, então Maria é dentista.

oSe amanhecer chovendo, então não irei à praia.

Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.

oSe nasci em Fortaleza, então sou cearense.

Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo:

oSe nasci em Apodi, então sou potiguar.

oSe nasci em Russas, então sou cearense.

E assim por diante. Pronto?

Agora me responda: qual é a única maneira dessa proposição estar incorreta?

Ora, só há um jeito desta frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.

Ou seja, se é verdade que eu nasci em Apodi, então necessariamente é verdade que eu sou potiguar.

Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Apodi, e que é falso que eu sou potiguar, então este conjunto estará todo falso.

É importante salientar que o exemplo trabalhado acima (Se nasci em Russas então sou cearense) foi escolhido exclusivamente para fins didáticos. Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional.

Por exemplo, poderíamos ter a seguinte sentença:

“Se a baleia é um mamífero então o papa é argentino”

O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente para obtenção de um resultado necessário.

Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos:

o“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:

o“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

Por outro lado, se ocorrer de alguém dizer que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:

o“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a:

o“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

Não podemos, pois esquecer disso:

oUma condição suficiente gera um resultado necessário.

Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar.

Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.

A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: pàq.

Na proposição “Se p, então q”, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita conseqüente. Teremos:

p	q	p      q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Conectivo “ ... se e somente se ...”: (bicondicional)

A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:

“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.

É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:

o“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”.

Ou ainda, dito de outra forma:

o“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica

alegre”.

São construções de mesmo sentido!

A bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais. Haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos.

Nos demais casos, a bicondicional será falsa.

Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabela-verdade será a seguinte:

p	q	p        q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Observação: Uma proposição bicondicional “p se e somente se q” equivale à proposição composta: “se p então q e se q então p”, ou seja,

“p↔ q “ é a mesma coisa que “ (p →q) e (q →p) “

Partícula “ não”: (negação)

Então vamos ver algo de suma importância: como negar uma proposição.

No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:

oJoão é médico. Negativa: João não é médico.

oMaria é estudante de matemática. Negativa: Maria não é estudante de matemática.

Reparemos que caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim:

oJoão não é médico. Negativa: João é médico.

oMaria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.

Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!

O símbolo que representa a negação é uma pequena (¬) cantoneira. Por Tutmés!!!!!!DESCOBRI O NOME QUE EU TINHA ESQUECIDO, QUANDO ALGUÉM ME PERGUNTOU NA ÚLTIMA AULA. (vejam só!!!!)

Ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. (Adotaremos o til).

A tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Então se algum aluno ver o sinal ¬ em algum livro, na estranhe, reconheça a cantoneira

Teremos:

p	~q
V	F
F	V

Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões:

oNão é verdade que A.

oÉ falso que A.

Daí as seguintes frases são equivalentes:

oLógica não é fácil.

oNão é verdade que lógica é fácil.

oÉ falso que lógica é fácil.

Negação de um proposição composta

Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. Veremos, pois, uma a uma:

àNegação de uma proposição conjuntiva: ~(p e q)

NÃO

~O Professor ANTONIO NÃO ENDOIDOU.   ¬ O Professor ANTONIO NÃO ENDOIDOU

Para negar uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte:

1. Negaremos a primeira parte (~p);

2. Negaremos a segunda parte (~q);

3. Trocaremos e por ou.

E só!

Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.

Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!

Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:

1. Nega-se a primeira parte (~p) = João não é médico;

2. Nega-se a segunda parte (~q) = Pedro não é dentista;

3. Troca-se E por OU, e o resultado final será o seguinte:

JOÃO NÃO É MÉDICO OU PEDRO NÃO É DENTISTA.

Traduzindo para a linguagem da lógica, dizemos que:

~(p ∧q) = ~p V ~

Como fomos chegar à essa conclusão?

Ora, por meio da comparação entre as tabelas- verdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso.

Primeiro, trabalhemos a tabela- verdade do ~(p ∧q).

Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido: