Exercícios função do 2º grau

Exercícios função do 2º grau

Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol – Questão 12. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi
A) 0
B) 9
C) 15
D) 18

Veja que a função f(t) = – t² + 30t – 216 é uma função do segundo grau onde a parábola tem a concavidade para baixo (a é menor que 0)

Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo (veja em nosso material didático):

t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15

Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.

Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):

t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.

Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.

Prova Resolvida CFO PM ES 2013 – Exatus – Questão 68. Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.

C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
Vamos calcular as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
X(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60
Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.

Veja atividades resolvidas nesse link.

Funções do segundo grau.

Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus – Questão 53. Assinale a alternativa correta:

a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y.

FALSA: Uma parábola sempre intercepta o eixo y.

b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo.

FALSA: O valor de a = 1 >0. Concavidade para cima.

c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente.

FALSA: O valor de a = 5 > 0. Crescente.

d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes.

FALSA: Nenhum número Real elevado ao quadrado fica negativo.

e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3.

Lembrando da fórmula da soma das raízes;

Soma = ´-b/a = -(-3)/1 = 3

Prova Resolvida PM ES 2013 – Funcab – Questão 58. Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:

A) V = (-7; 1)
B) V = (1; -7)
C) V = (0; 1)
D) V = (-7; 0)
E) V = (0; 0)

Usando a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7

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Prova Resolvida PM ES 2013 – Funcab – Questão 70. Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:

A) 5 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 10 m
E) 12 m

Soma das raízes = -b/a = -60
Produto das raízes: c/a = -700
É fácil observar que as raízes são 10 e -60. Como x representa medida, descartamos o -60

Prova Resolvida PM Acre Soldado 2012 – Funcab – Questão 25. Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10.
A) 3,5
B) – 2
C) 0
D) 10
E) – 1,5
Vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:

a = -1, b = 7, c = -1

Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
O valor máximo (ou mínimo) é a média das raízes:
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5

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Função do 2º grau (quadrática)

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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